FRM考試作為金融類的考試，里面涉及到數學的一些基礎知識。其中主要就是概率與統計的內容，在本篇文章中，小編就請來咱們的FRM老師為大家講解FRM數學基礎中的有關統計學的知識。

樣本變異量是基本統計學一個很難懂也很難教的概念。初學統計學的學生一開始就遇到這個概念，如果沒學懂，很可能就對統計學喪失了信心或興趣。這個概念難懂之處并不只在于它的意義或用處，更在于它的公式：

變異量的概念

首先，我們假設給有一組n個數目的數據：X1,X2,X3.......Xn, 他們的樣本平均數是X。

變異量所要測量的是這一組數據彼此間差異的程度，它告訴我們數據的同構型或一致性。我們可以先想象這組數據全部相同的情況：數據彼此之間完全沒有差異，也就是同構型高到不能再高了，一致性也大到不能再大了，此時變異量為0。如果數據彼此間差異*大，也就是同構型或一致性*低，此時變異量*大。

然則為何變異量要用上面的公式計算？要算數據彼此間差異的程度，不是算出數目兩兩之間差異的總和或其平均值就好了嗎？這樣說雖然不無道理，但實際上大有問題。

設想我們把數據中所有數目依其大小標在一直在線，一共有n個點，則這些點兩兩之間一共會有C(n,2)=n!/(n-2)!2!個距離，例如n=3會有3個距離，n=4會有6個距離，n=5會有10個距離，等等。但這些距離并不是相互獨立的，因為除了相鄰兩點之間的距離外，其它的距離都可以算出來。舉例來說，若n=3而三點為x1<x2<x3，則共有|x1-x2|、| x2-x3|、|x1- x3|三個距離，但|x1-x2|+| x2-x3|=|x1- x3|，也就是3個距離中只有2個是獨立的，第三個可以由這兩個獨立的距離算出來。推而廣之，直線上n個點x1<x2<…<xn，雖然可有C(n,2)個距離，只有|x1-x2|、| x2-x3|、|x3- x4|、…、|xn-1- xn|這n-1個相鄰兩點之間的距離是獨立的；這n-1個距離知道之后，其它的距離也就知道了。這n-1個相鄰兩點的「獨立」距離，包含了樣本變異量所有的信息，因此我們不妨暫且把n-1喚作「自由度」。換句話說，「自由度」就是樣本變異量所含獨立信息的數目。

如果我們把總變異量定義為數據中這些獨立信息的總和，則當我們把總變異量除以自由度n-1，我們就得到這些獨立信息的平均變異量了。但這樣的定義有一個問題，我們看下式就明白了：

這就等于我們小學時學過的植樹問題：「一條路有90公尺，沿路每邊種了10棵樹，兩端都種，請問每邊樹與樹間的平均距離多少？」這樣來算變異量，除了用到數據*數和*小數之間的「范圍」(range) 外，完全忽略了中間n-2個相對點位置所含的信息，因此它不是一個適當的方法。

此外，因為兩數相減可能得到負數，但距離必須是正的，所以我們常用*值來算距離。但*值函數y=|x|在x=0的地方有個尖銳轉折，不是一個平滑函數，數學上不好處理。比較好的消去負號的方法是平方：負負得正。

因此統計學不用數據點兩兩之間距離*值的和來算總變異量，而是用每個數據點與平均數距離平方的總和，也就是前面所說的「差方和」。差方和的好處是它用到了數據中每一點的位置，但它同時也必須用到樣本平均數。用了樣本平均數之后，數據中的n個點與平均數的距離就有一個限制了。

因此它們只包含了n-1個獨立的信息。我們把n-1喚作「自由度」，也就是獨立信息的數目。把差方和除以「自由度」就得到變異量；它可以詮釋為每個獨立信息對數據所含總信息——差方和——的平均貢獻。變異量因為用了距離的平方，必須開根號才能回到原來的距離單位。于是我們把變異量開根號，得到的結果，就是所謂「標準偏差」（standard deviation）：

這里講解的FRM數學基礎知識主要是回答一個問題，即統計學中自由度修正為啥n-1？融躍FRM老師針對這個問題做了詳細解答，如果有什么疑惑，歡迎留言咨詢咱們的老師。